O Teorema da Incompletude de Gödel: A Descoberta Matemática Nº 1 do Século XX

 

Em 1931, Kurt Gödel desferiu um golpe devastador nos matemáticos de sua época

Em 1931, o jovem matemático Kurt Gödel fez uma descoberta-marco, tão poderosa quanto qualquer coisa que Albert Einstein desenvolveu.

A descoberta de Gödel não se aplica somente à matemática, mas literalmente a todos os ramos da ciência, lógica e conhecimento humano. Ela tem verdadeiramente implicações que abalam a Terra.

Estranhamente, poucas pessoas sabem qualquer coisa sobre ela.

Permita-me contar-lhe a história.

Os matemáticos adoram provas. Eles estavam furiosos e chateados por séculos, porque eles eram incapazes de PROVAR algumas das coisas que eles sabiam que era verdade.

Por exemplo: se você estudou geometria no colégio, você fez os exercícios onde você prova todos os tipos de coisas sobre os triângulos, baseado em uma lista de teoremas.

Aquele livro de geometria do colégio é feito sobre os cinco postulados de Euclides. Todos sabem que os postulados são verdadeiros, mas em 2500 anos ninguém imaginou um meio de prová-los.

Sim, parece sim perfeitamente razoável que uma linha possa ser estendida infinitamente em ambas as direções, mas ninguém tem sido capaz de PROVAR isso. Nós só podemos demonstrar que eles são um conjunto de 5 suposições razoáveis e de fato necessárias.

Grandes gênios matemáticos estavam frustrados por mais de 2000 anos porque eles não podiam provar todos os seus teoremas. Havia muitas coisas que eram “obviamente” verdade, mas ninguém conseguia imaginar um meio de prová-los.

No início dos anos 1900, entretanto, um tremendo senso de otimismo começou a crescer nos círculos matemáticos. Os matemáticos mais brilhantes do mundo (como Bertrand Russell, David Hilbert e Ludwig Wittgenstein) estavam convencidos que estavam rapidamente se aproximando de uma síntese final.

Uma “Teoria de Tudo” unificada, que finalmente amarraria todos os pontos soltos. A matemática seria completa, à prova de balas, hermética, triunfante.

Em 1931, este jovem matemático austríaco, Kurt Gödel, publicou um artigo que de uma vez por todas PROVOU que uma única Teoria de Tudo é realmente impossível.

A descoberta de Gödel foi chamada de “O Teorema da Incompletude”.

Se você me der alguns minutos, eu lhe explicarei o que ele diz, como Gödel o descobriu e o que ele significa – em português simples e direto que qualquer um pode entender.

O Teorema da Incompletude de Gödel diz:

“Qualquer coisa em que você pode desenhar um círculo ao redor não pode ser explicada por si mesma sem se referir a algo fora do círculo – algo que você tem que assumir mas não pode provar.”

Expresso em Linguagem Formal:

O teorema de Gödel diz: “Qualquer teoria efetivamente gerada capaz de expressar aritmética elementar não pode ser tanto consistente quanto completa. Em particular, para qualquer teoria formal consistente e efetivamente gerada que prova certas verdades aritméticas básicas, existe uma afirmação aritmética que é verdadeira, mas que não pode ser provada em teoria.”

A Tese de Church-Turing diz que um sistema físico pode expressar aritmética elementar assim como um humano pode, e que a aritmética de uma Máquina de Turing (um computador) não pode ser provado dentro do sistema e é igualmente sujeito à incompletude.

Qualquer sistema físico sujeito a medição é capaz de expressar aritmética elementar. (Em outras palavras, crianças podem fazer matemática contando em seus dedos, uma água fluindo para um balde faz integração e sistemas físicos sempre dão a resposta certa.)

Portanto, o Universo é capaz de expressar aritmética elementar e, tanto como a própria matemática e uma máquina de Turing, é incompleto.

Silogismo:

1. Todos os sistemas computacionais não-triviais são incompletos.

2. O Universo é um sistema computacional não-trivial.

3. Portanto, o Universo é incompleto.

Você pode desenhar um círculo ao redor de todos os conceitos no seu livro de geometria do colégio. Mas eles são todos feitos sobre os 5 postulados de Euclides que claramente são verdade mas que não podem ser provados. Esses 5 postulados estão fora do livro, fora do círculo.

Você pode desenhar um círculo ao redor de uma bicicleta, mas a existência dessa bicicleta depende de uma fábrica que está fora do círculo. A bicicleta não pode explicar a si mesma.

Gödel provou que há SEMPRE mais coisas que são verdadeiras do que você pode provar. Qualquer sistema de lógica ou números que os matemáticos possam trazer sempre se baseará em pelo menos umas poucas suposições que não podem ser provadas.

O Teorema da Incompletude de Gödel não se aplica somente à matemática, mas a tudo que está sujeito às leis da lógica. A incompletude é verdade na matemática, e é igualmente verdade na ciência, na linguagem ou na filosofia.

E, se o Universo é matemático e lógico, a Incompletude também se aplica ao Universo.

Gödel criou sua prova começando com o “Paradoxo do Mentiroso” — que é a afirmação:

“Eu estou mentindo.”

“Eu estou mentindo” é autocontraditória, já que, se é verdade, eu não sou um mentiroso, e, se é falsa, eu sou um mentiroso, então é verdade.

Então Gödel, em um dos movimentos mais engenhosos da história da matemática, converteu o Paradoxo do Mentiroso em uma fórmula matemática. Ele provou que qualquer afirmação requer um observador externo.

Nenhuma afirmação sozinha pode completamente provar a si mesma como verdadeira.

O seu Teorema da Incompletude foi um golpe devastador no “positivismo” da época. Gödel provou o seu teorema preto no branco, e ninguém podia discutir com a sua lógica.

Ainda assim, alguns de seus amigos matemáticos foram para o túmulo negando, acreditando que de alguma forma ou outra Gödel deveria certamente estar errado.

Ele não estava errado. Era mesmo verdade. Existem mais coisas que são verdade do que você pode provar.

Uma “teoria de tudo” – seja na matemática, na física ou na filosofia – nunca será encontrada. Porque é impossível.

OK, o que isso então realmente significa? Por que isso é superimportante, e não apenas um factoide geek?

Isso é o que significa:

  • Fé e Razão não são inimigas. Na verdade, o exato oposto é verdade! Uma é absolutamente necessária para que a outra exista. Todo o raciocínio ao final leva de volta à fé em algo que você não pode provar.
  • Todos os sistemas fechados dependem de algo fora do sistema.
  • Você pode sempre desenhar um círculo maior, mas existirá sempre algo fora do círculo.
  • O raciocínio de um círculo maior para um menor é “raciocínio dedutivo.”

Exemplo de um raciocínio dedutivo:
1. Todos os homens são mortais
2. Sócrates é um homem
3. Portanto, Sócrates é mortal

  • O raciocínio de um círculo menor para um maior é “raciocínio indutivo.”

Exemplos de raciocínio indutivo:

1. Todos os homens que conheço são mortais
2. Portanto, todos os homens são mortais

1. Quando eu largo objetos, eles caem
2. Portanto, há uma lei da gravidade que governa objetos de caem

Note que quando você se move do círculo menor para o maior, você tem que fazer suposições que não pode provar 100%.

Por exemplo: você não pode PROVAR que a gravidade sempre será consistente todas as vezes. Você só pode observar que ela é consistentemente verdadeira toda vez. Você não pode provar que o Universo é racional. Você só pode observar que fórmulas matemáticas como E = mc² parecem sim descrever perfeitamente o que o Universo faz.

Praticamente todas as leis científicas estão baseadas no raciocínio indutivo. Estas leis apoiam-se em uma afirmação de que o Universo é lógico e baseado em leis fixas que podem ser descobertas.

Você não pode PROVAR isto. (Você não pode provar que o sol virá amanhã de manhã também.) Você literalmente tem que usar a fé. Na verdade, a maioria das pessoas não sabem que além do círculo da ciência existe um círculo da filosofia. A ciência está baseada em suposições filosóficas que você não pode provar cientificamente. Realmente, o método científico não pode provar, só pode inferir.

(A ciência originalmente surgiu da ideia de que Deus fez um Universo ordenado que observa leis fixas e que podem ser descobertas.)

Agora por favor considere o que acontece quando desenhamos o maior círculo possível – ao redor de todo o Universo.
(Se existem múltiplos universos, nós estamos desenhando um círculo ao redor deles todos também.):

  • Tem que existir algo fora desse círculo. Algo que nós temos que assumir mas não podemos provar.
  • O Universo como nós conhecemos é finito – matéria finita, energia finita, espaço finito e 13,7 bilhões de anos de idade.
  • O Universo é matemático. Qualquer sistema físico sujeito a medição executa a aritmética. (Você não precisa conhecer matemática para fazer uma adição – você pode usar um ábaco em vez disso e ele lhe dará a resposta certa todas as vezes.)
  • O Universo (toda a matéria, energia, espaço e tempo) não pode explicar a si mesmo.
  • O que quer que esteja fora do maior círculo não tem limites. Por definição, não é possível desenhar um círculo ao redor dele.
  • Se desenharmos um círculo ao redor de toda a matéria, energia, espaço e tempo e aplicar o teorema de Gödel, então saberemos que o que está fora desse círculo não é matéria, não é energia, não é espaço e não é tempo. É imaterial.
  • O que quer que esteja fora do maior círculo não é um sistema – i.e. não é um conjunto de partes. De outra forma poderíamos desenhar um círculo ao redor delas. A coisa fora do maior círculo é indivisível.
  • O que quer que esteja fora do maior círculo é uma causa não-causada, porque você sempre pode desenhar um círculo ao redor de um efeito.

Nós podemos aplicar o mesmo raciocínio indutivo à origem da informação:

  • Na história do Universo, nós também podemos ver a introdução da informação, cerca de 3,5 bilhões de anos atrás. Ela veio na forma do código genético, que é simbólico e imaterial.
  • A informação teve que vir de fora, já que a informação não é conhecida por ser uma propriedade inerente da matéria, energia, espaço ou tempo.
  • Todos os códigos cuja origem conhecemos são projetados por seres conscientes.
  • Portanto, o que quer que esteja fora do círculo maior é um ser consciente.

Em outras palavras, quando adicionamos a informação à equação, concluímos que a coisa fora do maior círculo não só é infinita e imaterial, como também é consciente.

Não é interessante como todas estas coisas soam suspeitamente similar a como os teólogos têm descrito Deus por milhares de anos?

Então é dificilmente surpreendente que entre 80 e 90% das pessoas do mundo acreditam em algum conceito de Deus. Sim, é intuitivo para a maioria do pessoal. Mas o teorema de Gödel indica que é também supremamente lógico. De fato, é a única posição que alguém pode tomar e ficar nos domínios da razão e da lógica.

A pessoa que orgulhosamente proclama: “Você é um homem da fé, mas eu sou um homem da ciência” não entende as raízes da ciência e a natureza do conhecimento!

Interessantemente à parte…

Se você visitar o maior website ateu do mundo, Infidels, na página inicial você encontrará a seguinte declaração:

“O Naturalismo é a hipótese que o mundo natural é um sistema fechado, o que significa que nada que não seja parte do mundo natural o afeta.”

Se você conhece o teorema de Gödel, você sabe que todos os sistemas lógicos devem contar com algo fora do sistema. Então, de acordo com o Teorema da Incompletude de Gödel, o Infidels não pode estar correto. Se o Universo é lógico, ele tem uma causa externa.

Assim, o ateísmo viola as leis a razão e da lógica.

O Teorema da Incompletude de Gödel prova definitivamente que a ciência não pode jamais preencher suas próprias lacunas. Nós não temos escolha a não ser procurar fora da ciência por respostas.

A Incompletude do Universo não é a prova que Deus existe. Mas… É a prova de, para se construir um modelo racional e científico do Universo, a crença em Deus não é somente 100% lógica… ela é necessária.

Os 5 postulados de Euclides não podem ser formalmente provados e Deus também não pode ser formalmente provado. Mas… assim como você não pode construir um sistema coerente de geometria sem os 5 postulados de Euclides, você também não pode construir uma descrição coerente do Universo sem uma Primeira Causa e uma Fonte de ordem.

Assim, fé e ciência não são inimigas, mas aliadas. Tem sido verdade por centenas de anos, mas em 1931 este jovem magricelo matemático austríaco chamado Kurt Gödel provou.

Em nenhuma época na história da humanidade a fé em Deus tem sido mais razoável, mais lógica ou mais amplamente apoiada pela ciência e pela matemática.

Perry Marshall (traduzido para o português por Mateus Scherer Cardoso)

“Sem matemática nós não podemos penetrar profundamente na filosofia.
Sem filosofia nós não podemos penetrar profundamente na matemática.
Sem ambas nós não podemos penetrar profundamente em nada.”

Leibniz

“A matemática é a linguagem pela qual Deus escreveu o Universo”

Galileu

 

 

Leitura adicional:

Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel” (em inglês) por Rebecca Goldstein – biografia fantástica e uma grande leitura

Uma coleção de citações e notas sobre a prova de Gödel’s da Miskatonic University Press (em inglês)

A descrição formal do Teorema da Incompletude de Gödel’s na Wikipédia (em inglês)

Ciência vs. Fé na CoffeehouseTheology.com (em inglês)

Teoria da Informação: “If you can read this, I can prove God exists” (em inglês)

14 Responses

  1. […] artigo de Perry Marshall (traduzido ao português por Mateus Scherer Cardoso) me causou um deslumbramento tão grande que decidi publicá-lo aqui por inteiro. Eu o encontrei […]

  2. […] O Teorema da Incompletude de Gödel: A Descoberta Matemática Nº 1 do Século XX […]

  3. Ienlov K. says:

    Não entendi a necessidade de Deus, afinal, para que ele seja o circulo maior, alguma coisa dentro do circulo menor precisa dele se forma a se demonstrar. Seu raciocinio está sendo indutivo e não dedutivo aqui.

    O quê, dentro de um circulo menor e sabidamente verdadeiro precisaria de Deus para ser demonstrado?

  4. Marcos says:

    acho que este Ateu não entendeu nada do texto quando diz sobre informações inteligentes.

  5. Grande parte dos que se dizem Crentes, demonstram preconceito contra os Ateus. O Marcos do post acima é um exemplo disso. O discriminado do 3º. post entendeu, sim, e muito bem. Kurt Gödel é de formação intensamente Cristã e para ele seria difícil pensar além da sua fonte. Todos nós temos pleno direito de acreditarmos ou não em Deus. Meu pai, que já viveu mais do que Gödel 5 anos; me disse do alto dos seus 76 anos: “Considero que tenho boa erudição, mas nunca vi, li ou ouvi alguém que superasse o Papa Francisco ! Ele disse a pouco que o Ateu fiel, sincero à sua própria consciência, será bem vindo ao Reino dos Céus.”
    >–>
    Kurt Friedrich Gödel
    Born: April 28, 1906 – Died: January 14, 1978 (aged 71)
    Princeton, New Jersey, U.S
    >–>
    “Antes de seu uso moderno, Alma mater era um título honorífico em latim para várias deusas-mães, especialmente Ceres ou Cybele, [3] e, posteriormente, no catolicismo para a Virgem Maria. A fonte de seu uso atual é o lema Alma Mater Studiorum (“mãe carinho de estudos”) da universidade mais antiga do mundo ocidental em funcionamento contínuo: a Universidade de Bologna, fundada em 1088.”

  6. Lucas says:

    O Teorema de Gödel se levado como verdade, serve pra provar a existência de qualquer coisa “exterior ao universo”. De um a múltiplo deuses quaisquer, imaginados de qualquer forma, que se pensados da forma como você explica nesse artigo, constituem verdade em igual proporção à afirmação da existência de um deus cristão.

    O mesmo acontece pra um postulado. Se uma teoria postula algo que não pode ser provado mas dá base às teorias, mesmo as que dizem respeito ao próprio Universo, essa teoria explica o universo de forma favorável, sem a necessidade de uma entidade exterior ao universo para explicá-lo (a informação à qual não podemos provar é uma informação “exterior ao universo” também, por definição. Se isso não é verdade, então o fato de um deus qualquer -definido sendo exterior ao universo- ser capaz de “mexer” no universo -como as crenças cristãs e evangélicas, e meio que todas as outras. supõem- o torna parte do universo – por causar efeitos no sistema que é o universo- e assim, o deus deixa de ser algo externo ao universo, passando a ser algo cuja prova é discutível).

    Então se quiser supor que seu deus existe, pelo teorema de Gödel, deve aceitar que uma informação qualquer à qual supomos ser a base de tudo no universo e que não podemos provar, sendo um deus ou não, é tão verdadeiro quanto (se não mais que) a sua fé.

  7. Lucas says:

    Alem disso, o teorema de Gödel resulta da forma que ele escolheu pra resolver o paradoxo. Existem outras formas de solução. Isso torna o “Teorema” de Gödel algo que não é uma verdade universal, que “funciona” pra qualquer sistema e tal. Mas enfim. Boa tentativa 🙂

  8. Luis Otávio says:

    os teoremas referem-se a sistemas operacionais quantitativos e não ao conceito de Deus ou Deuses encontrado em nossas religiões. primeiro que para nenhuma religião existe um Deus ou Deuses solidários, ou compartilhavel. quer dizer que nenhuma religião concede seu ideal de Deus a outra religião. o Deus de uma é anti-Deus na outra.e isso é muito claro para o religioso. Quem concebe esse Deus compartilhado é o cientista.que para a religião parece um infiel, erege ou ateu.

  9. Lauro Chieza says:

    “O que quer que esteja fora do maior círculo é uma causa não-causada!”

    Uma regra na Ciência é a navalha de Ockham. Colocar algo que veio a existir sem causa para este algo ser a causa de nosso universo, como bem disse Pierre Simon, é uma hipótese redundante e desnecessária.

    O caminho trilhado pela ciência é o de que o nosso próprio universo é entendido hoje como vindo a existir sem causa, ele próprio sendo a entidade não causada!

    Quanto ao teorema de Gödel, o autor ignora que o próprio teorema é estabelecido sobre as bases da lógica, e vale pois confinado ao ambiente onde as regras lógicas – que sabemos valer apenas DENTRO do nosso universo – sejam necessariamente válidas, e de forma universal. Admitido que o universo é regido em íntegra pelas regras lógicas, qualquer PARTE DO UNIVERSO requer para ser completamente explicada algo fora das fronteiras estabelecidas, o restante do Universo, o que ficou além das fronteiras. Mas o teorema não prova que o Universo em sua completude, em sua integralidade, não possa ser auto consistente – terminantemente.

    O teorema não vale para além de um círculo concebido em torno de tudo o que é sabido existir, um círculo em torno de “Tudo”, de todo o Universo, de tudo o que há, material ou imaterial, de forma que nada exista além dessa fronteira; simplesmente porque, por construção, além dessa fronteira, não há nada, nada inclusive sobre o qual ali se possa construir uma lógica matemática que permita a aplicação do teorema de Gödel. A lógica não é válida no interior de um “conjunto vazio”.

    O Teorema de Gödel não se estende a ambientes onde a lógica não possa seja universalmente válida! Ou seja, no interior desse “conjunto vazio”, simplesmente porque ali não há partes para serem relacionadas, não há algo sobre o qual se estabelecerem as regras da lógica que conhecemos!

    Para além das fronteiras onde reina o “nada” a lógica não se aplica; e uma vez inserido no interior da fronteira algo que não obedeça à lógica, o teorema de Gödel não se aplica.

    Em outras palavras, aplicado da forma que o autor o emprega – incorreta – tem-se novamente o velho círculo vicioso: quem criou o criador? E nesse ponto o próprio autor apresenta a resposta para se quebrar o círculo:

    “O que quer que esteja fora do maior círculo é uma causa não-causada”, é algo que não pode obedecer à lógica, que não se pode subdividir em partes! E eu completo: o “nada”.

    Parabéns! O autor deu todos os passos para provar que o Universo veio literalmente do “nada”! E que a premissas do naturalismo, de que o Universo é em sua totalidade completo e consistente, é plenamente válida mesmo frente ao teorema de Gödel!

    Desviou-se feio dessa conclusão apenas por razões de fé pessoal… violando a Navalha de Ockham!

  10. Ricardo Godinho says:

    Eu ia fazer um pequeno comentário, mas o Lauro Chieza disse tudo que eu poderia ter dito.

    • Ice says:

      A Navalha de Occam diz que o mais simples é verdade e o mais complexo não, ao usar a Navalha Occam sob a premissa de que a ciência diz que o universo se formou sem causa e do nada, que contraria até mesmo Lavoisier que diz que “nada se cria tudo se transforma” o nada se transformando em algo? . Enfim, navalha de Occam foi utilizado apenas para reforçar que a teoria que acredita é a mais simples e a de Gödel é complicada demais pra vc aceitar, basicamente a premissa deste principio lógico. Contudo a própria bíblia diz Deus está além do entendimento humano portanto, além da lógica humana, utilizando o principio de Occam seria mais fácil acreditar que nada virou algo, contrario Lavoisier. No fim quanto mais o desconhecimento de uma coisa mais o medíocre deve ser vdd, que feio, esse é o Principio de Occam. A bíblia diz que de Deus saiu todas as coisas , portanto esse algo existiu e não veio do nada, diz que Deus já havia, portanto sua existência é eterna do principio até o fim, se ele sempre existiu portanto ele é o principio, o que satisfaz a principio de Gödel de que fora do circulo existe algo que não é lógico e a própria bíblia que diz que Deus está além da lógica humana. A própria física quântica diz que partículas pode estar em vários lugares ao mesmo tempo, que reforça ainda mais os ditos de Deus que ele pode estar em toda parte, e se de tudo dele saiu em tudo ele se move. Cabemos ressalta que curiosamente a bíblia se encaixa mais na ciência e em muitas teorias já descritas, do que em uma afirmativa ” tudo surgiu do nada”, cá entre nós, tem que ter muita fé pra acreditar nessa afirmativa, mais até do que acreditar em Deus. A fé pessoal do Lauro parece que o faz tropeçar em conceitos, e preconceitos mais evidentes em sua conclusão.

      “Parabéns! O autor deu todos os passos para provar que o Universo veio literalmente do “nada”! E que a premissas do naturalismo, de que o Universo é em sua totalidade completo e consistente, é plenamente válida mesmo frente ao teorema de Gödel! “

  11. alindholm says:

    O que o teorema parece dizer é que tudo, ao fim e ao cabo, requer algum tipo de salto no escuro (nada a ver, necessariamente, com religião). Então se você é ateu, você também apostou em algo em que você não pode provar.

  12. Alan says:

    “Todos os códigos cuja origem conhecemos são projetados por seres conscientes.
    Portanto, o que quer que esteja fora do círculo maior é um ser consciente.”

    “Exemplos de raciocínio indutivo:
    1. Todos os homens que conheço são mortais
    2. Portanto, todos os homens são mortais
    1. Quando eu largo objetos, eles caem
    2. Portanto, há uma lei da gravidade que governa objetos de caem
    Note que quando você se move do círculo menor para o maior, você tem que fazer suposições que não pode provar 100%.”

    Tirem suas próprias conclusões.

  13. mario says:

    O número zero não existe na realidade, é uma invenção da imaginação da natureza humana. Se considerarmos o Bosão de H. como um número superior ao número um ( pois o 1 ainda não foi descoberto e isso seria a unidade da partícula de Deus) e todas as outras partículas maiores serão sempre números superiores a 0,0000000… 9 não existe mas 1,000000000… 1 existe e é esse o ponto de partida para se compreender não a incompletude, mas a completude da realidade, mas para isso é necessário tentar compreender que a matemática humana caminhou pelo caminho contrário e como isso custa a acreditar assumindo-se o 1=0 e o 0=1. Como 1 não pode ser 0 e 0 não pode ser 1, só pode existir 1 e números seguintes. Quando o homem assume o 0, está a assumir 1 número e esse é 1 (qualquer coisa, nunca 0, qualquer coisa).
    Daí o teorema e os seguintes, para explicar a armadilha que o homem em si mesmo criou.
    Se a mais ínfima partícula da teoria do BigBang for 1 o que é na realidade porque não poderia ser outra coisa qualquer, isto indica que Gödel nos avisa para procurarmos outros caminhos mais universais, invés dos que a matemática humana traçou e nos prendeu na imaginação, mas não na compreensão de Deus. Deus é 1 seja qual for a dimensão ou o tamanho que tenha, mesmo que para o ser humano seja incompreensível ou sobretudo absurdo.

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